纳维-斯托克斯方程的变体

计算流体动力学的步骤
有限差分法

引言

在计算流体动力学中，我们关注流体在给定时刻的一些基本属性，如速度、压力、温度、密度和黏度。纳维-斯托克斯方程是广泛应用的数学模型，用于研究这些属性在动态和/或热相互作用期间的变化。CFD 的故事始于纳维-斯托克斯方程。该方程基于质量守恒、动量守恒和能量守恒定律。这些定律可以定义如下：

质量守恒

质量守恒定律指出，根据物理定律，控制体积中的质量既不能被创造也不能被消灭。质量守恒也称为连续性方程，它指出系统在入口截面和出口截面之间的质量流量差为零。用方程表示，我们可以写为：

其中，ρ 是密度，V 是速度，∇ 是梯度算子

当流体密度恒定时，流动被假定为不可压缩，此时该方程表示稳态过程：

因此，

这里，u、v 和 w 是点 (x,y,z) 在时间 t 处的速度分量。

请注意，当应力/应变曲线为线性时，不可压缩流体也称为牛顿流体。

动量守恒

控制体积中的动量保持恒定，这意味着动量守恒，我们称之为“纳维-斯托克斯方程”。该描述根据牛顿第二运动定律的表达建立：

F=m.a

其中，F 是施加到任何粒子上的净力，a 是加速度，m 是质量。如果粒子是流体，则方便地将方程除以粒子体积，以生成如下以密度表示的推导：

其中，f 是施加在流体粒子上每单位体积的力，fbody 是施加在整个流体粒子质量上的力，如下所示：

fbody = ρ . g

其中，ρ 是密度，g 是重力加速度。通过流体粒子表面施加的外力 fsurface 由压力和黏性力表示，如下所示：

其中 τij 表示为应力张量。根据 Stokes 给出的牛顿黏性流体一般变形定律，τij 表示为

因此，牛顿运动方程可以如下形式指定：

牛顿黏性流体的纳维-斯托克斯方程用一个方程给出：

I：动量对流

II：质量力

III：表面力

IV：黏性力

其中，静压力 ρ 和重力 ρ.g。该方程适用于流体以及瞬态和可压缩流场。D/Dt 表示如下实质导数：

如果接受流体密度为常数，则方程会大大简化，其中黏度系数 μ 假定为常数，且方程中 ∇⋅V=0。因此，不可压缩三维流动的纳维-斯托克斯方程可以表示如下：

对于每个维度，当速度为 V(u,v,w) 时：

p、u、v 和 w 是未知量，需要通过应用连续性方程和边界条件来寻求解。此外，如果问题中存在任何热相互作用，还必须考虑能量方程。

能量守恒

能量守恒是热力学第一定律，它指出添加到系统的功与热量之和将导致系统能量增加：

dEt = dQ + dW

其中，dQ 是添加到系统的热量，dW 是对系统所做的功，dEt 是系统总能量的增量。常见的能量方程类型之一是：

I：随时间局部变化

II：对流项

III：压力功

IV：热通量

V：热耗散项

纳维-斯托克斯方程具有非线性结构和各种复杂性，因此几乎不可能对这些方程进行精确求解。因此，就物理域而言，会部分应用方法和假设来简化方程。还需要应用一些假设，以提供可靠模型，在该模型中，方程会进一步考虑复杂性，例如湍流。

纳维-斯托克斯方程的变体

纳维-斯托克斯方程的解可以通过解析方法或数值方法实现。解析方法是仅补偿那些在若干假设内忽略纳维-斯托克斯方程非线性和复杂结构的解的过程。它仅适用于简单/基本情形，如库埃特流、泊肃叶流等。流体动力学中几乎每个情形都包含数学模型中的非线性和复杂结构，为了保持可靠性，这些结构不能被忽略。因此，纳维-斯托克斯方程的解通过若干数值方法进行。纳维-斯托克斯方程可基于其变化的各种参数如下。

时域

流体流动分析可以根据物理事件在稳态（与时间无关）或非稳态（与时间相关）条件下进行。如果流体流动为稳态，这意味着流体运动和参数不依赖于时间变化，即项 ∂()/∂t=0，其中连续性方程和动量方程重新推导如下：

连续性方程：

x 方向的纳维-斯托克斯方程：

虽然稳态流动假设否定了某些非线性项的影响，并提供了方便的解，但密度变化是一个障碍，使方程保持复杂形式。

可压缩性

由于流体的柔性结构，粒子的可压缩性是一个重要问题。尽管所有类型的流体流动在分子结构方面都在不同范围内可压缩，但大多数可以假定为不可压缩，其中密度变化可忽略。因此，无论流动是否稳态，项 ∂ρ/∂t = 0 都被舍弃，如下所示：

连续性方程：

x 方向的纳维-斯托克斯方程：

由于不可压缩流动假设提供了合理的方程，同时应用稳态流动假设使我们能够忽略非线性项，其中 ∂()/∂t=0。此外，高速流体的密度不能接受为不可压缩，其中密度变化很重要。“马赫数”是一个无量纲数，便于研究流体流动是不可压缩还是可压缩。

其中，Ma 是马赫数，V 是流动速度，a 是海平面处 340.29 m/s 的声速。

如上述方程所示，当马赫数低于 0.3 时，不可压缩性假设是可接受的。相反，密度变化不能忽略，此时密度应被视为重要参数。例如，如果汽车速度高于 100 m/s，则进行可靠数值分析的合适方法是可压缩流动。除速度外，在地球物理流动中还必须考虑热属性对密度变化的影响。

低雷诺数与高雷诺数

雷诺数，即惯性效应与黏性效应之比，也会影响纳维-斯托克斯方程以截断数学模型。当 Re -> ∞ 时，黏性效应被认为可忽略，纳维-斯托克斯方程中的黏性项被移除。纳维-斯托克斯方程的简化形式称为欧拉方程，可以如下指定。

x 方向的纳维-斯托克斯方程：

尽管黏性效应对流体相对重要，但无黏流动模型在某些特定情况下部分提供了可靠的数学模型，以预测真实过程。例如，物体上的高速外部流动是一种广泛使用的近似，其中无黏方法合理适用。当 Re<<1 时，惯性效应被认为可忽略，纳维-斯托克斯方程中的相关项被去掉。纳维-斯托克斯方程的简化形式称为爬流或斯托克斯流。

x 方向的纳维-斯托克斯方程：

由于具有明显的黏性效应，爬流是研究熔岩流动、微生物游动、聚合物流动、润滑等的合适方法。

湍流

流体在动态条件下的行为是一个具有挑战性的问题，被划分为层流和湍流。层流是有序的，其中流体运动可以精确预测。除此之外，湍流具有各种障碍，因此很难预测表现出混沌行为的流体流动。雷诺数，即惯性力与黏性力之比，根据速度、长度、黏度以及流动类型等若干属性预测流体流动行为是层流还是湍流。当流动为湍流时，会选择适当的数学模型来进行数值求解。文献中有各种湍流模型，每种模型都有略微不同的结构来研究混沌流体流动。

湍流可以应用于纳维-斯托克斯方程，以对流体流动的混沌行为进行求解。除层流外，湍流的输运量由瞬时值驱动。直接数值模拟（DNS）是使用瞬时值求解纳维-斯托克斯方程的方法。由于区域波动在广泛范围内变化，DNS 需要巨大的工作量和昂贵的计算设施。为避免这些障碍，瞬时量由其平均值和波动部分之和替代，如下所示：

其中 u、v 和 w 是速度分量，T 是温度。

与导致非线性的瞬时值不同，使用平均值进行数值求解提供了适当的数学模型，称为“雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）方程”。对于大多数工程情况，波动可以忽略，因为它们会导致复杂的数学模型。因此，RANS 湍流模型是封闭平均流动方程系统的过程。雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）方程的一般形式可以如下指定：

连续性方程：

x 方向的纳维-斯托克斯方程：

RANS 的湍流模型也可以根据方法而变化，例如 k-omega、k-epsilon、k-omega-SST 和 Spalart-Allmaras，这些方法已被用于寻求不同类型湍流的解。

同样，大涡模拟（LES）是另一种用于湍流的数学方法，也广泛应用于若干情况。尽管 LES 比 RANS 确保更准确的结果，但它需要更多时间和计算机内存。与 DNS 一样，LES 考虑在时间和三维空间中求解瞬时纳维-斯托克斯方程。

Favre 时间平均

SolidWorks Flow Simulation 使用 Favre 平均纳维-斯托克斯方程处理湍流。在 Favre 平均中，通过使用 Favre 提出的密度加权平均程序，可以显著简化时间平均方程。如果将雷诺时间平均应用于可压缩形式的纳维-斯托克斯方程，会出现一些困难。特别是，方程的原始形式会发生显著改变。为说明这一点，考虑将雷诺平均应用于可压缩流动的连续性方程。

Favre 时间平均可以定义如下。瞬时求解变量分解为平均量和波动分量，如下所示：